变分自动编码器(VAE)

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这学期张连文教授教的CSIT6000G Machine Learning课上讲到了VAE和GAN，学完之后感觉两个概念被解释的很好，所以有必要记录一下。

VAE(Variational Autoencoder)中文译为变分自动编码器，它是一种深度生成模型（Deep Generative Model），是一种无监督学习算法。它的主要作用是能够学习一个函数（模型），使得输出数据的分布尽可能地逼近原始数据分布。

问题描述

假设我们有一堆无标签数据集 $X = \{x^{(i)}\}_{i=1}^{N}$, 每一个数据$x^{(i)}$是一个表示图像的vector，而vector中的每一个元素则表示图像的像素；那么我们的任务就是：

希望从原始数据集$X$中学习一个分布$p(x)$，使得它的分布和原始数据分布接近，也就是说我们可以生成和原始图像相似但不同的图片。

生成模型（Generative Model）

那么这个问题如何求解呢？
我们假设：

每一个图片都存在一个与之对应的标签向量$z$；什么叫标签向量？简单点说可以用$z$来代表$x$，但是$z$的维度会比$x$低很多，而且$z$是没有被观测到的，也就是说不知道$z$到底是什么样子的。
我们进一步假设图片是按照下面的方法生成的：
我们首先假设$z$服从高斯分布：
$$z \sim p(z) = N(0, I)$$
其中，$I$是一个单位矩阵(identity matrix).
其次，假设最终的$x$由$z$生成的：
$$ x \sim p_{\theta}(x|z) $$ 于是，于是我们有：
$$p_{\theta}(x) = \int p_{\theta}(x|z)p(z)dz $$
此外，我们进一步假设条件概率$p_{\theta}(x|z)$也是符合高斯分布的：
$$ p_{\theta}(x|z) = N(x|\mu_x(z,\theta), \sigma_{x}^2(z,\theta)I) $$
它的两个参数：mean vector $\mu_x(z,\theta)$和协方差矩阵$\sigma_{x}^2(z,\theta)I$是通过一个神经网络学习得到的。于是，这个生成模型的完整结构就是这样的：

那么这个问题如何求解（学习）呢？按照惯例，我们需要最大化它的对数似然函数（log likelihood function）：
$$ \log p_{\theta}(x) = \sum_{i=1}^{N}\log p_{\theta}(x^{(i)}) $$
其中，
$$ \log p_{\theta}(x^{(i)}) = \log \int p_{\theta}(x|z)p(z)dz $$
然后我们用梯度上升的方法求得最优解，这里就需要计算梯度$\triangledown_{\theta} \log p_{\theta}(x^{(i)}) $。但是因为上面的公式包含了一个积分的形式，使得这个梯度并不好求解。那么怎么办呢？最直观的思路就是找到一个方法消除z的积分。回顾一下积分的定义，我们可以采样尽可能多的z，然后用采样得到的z去估计真实的z分布，这样我们就能去掉积分了。这种方式被称为：Naive Monte Carlo Gradient Estimator。具体地，我们从$p(z)$中采样出$L$个数据点$z^{(1)},z^{(2)},…,z^{(L)}$，然后用下面的公式去估计$p_{\theta}(x^{(i)})$:
$$p_{\theta}(x^{(i)}) \approx \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} p_{\theta}(x^{(i)}|z^{l})$$
新得到的公式中已经没有$z$了，这样我们就能计算出它的梯度$\triangledown_{\theta} \log p_{\theta}(x^{(i)}) $了。这种方法看上去很完美，但是很遗憾，它并不work。主要原因是，$x$的维度非常高，而$z$的维度很低。所以，采样得到的$p_{\theta}(x|z)$很容易偏斜（highly skewed），很容易只能采样到一小部分区域。因此，要获取准确的结果，采样的数据点个数必须非常大（extremely large）,而这很难做到。那怎么办呢？既然凭空采样$z$是困难的，那我们能不能利用原始数据$X$来缩小$z$的采样范围呢？如果可以的话，采样就会更容易、更准确了。于是，我们引入识别模型（Recognition Model）。

识别模型（Recognition Model）

识别模型$q_{\phi} (z|x)$的形式如下:
$$ q_{\phi}(z|x) = N(z|\mu_z(x,\phi), \sigma_{z}^2(x,\phi)I) $$
我们仍然假设它服从高斯分布，并且它的两个参数mean vector $\mu_z(x,\phi)$和协方差矩阵$\sigma_{z}^2(x,\phi)I$也是通过一个神经网络学习得到的。于是，这个生成模型的完整结构就是这样的：
Imgur
引入识别模型之后，我们重新推导对数似然函数$\log p_{\theta}(x^{(i)})$:
$$
\begin{align*}
\log p_{\theta}(x^{(i)}) & = E_{z \sim q_{\phi}(z|x^{(i)})} \left [ \log p_{\theta}(x^{(i)}) \right ] \tag{1} \\
& = E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \log \frac{p_{\theta}(x^{(i)} |z) p_{\theta}(z)}{p_{\theta}(z | x^{(i)})} \right ] \tag{2} \\
& = E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \log \frac{p_{\theta}(x^{(i)} |z) p_{\theta}(z)}{p_{\theta}(z | x^{(i)})} \frac{q_{\phi}(z|x^{(i)})}{q_{\phi}(z|x^{(i)})} \right ] \tag{3} \\
& = E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \log p_{\theta}(x^{(i)} |z) \right ] – E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \frac{q_{\phi}(z|x^{(i)})}{p_{\theta}(z)} \right ] + E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \frac{q_{\phi}(z|x^{(i)})}{p_{\theta}(z|x^{(i)})} \right ] \tag{4} \\
& = E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \log p_{\theta}(x^{(i)} |z) \right ] – D_{KL} \left [ q_{\phi}(z|x^{(i)}) || p_{\theta}(z) \right ] + E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \frac{q_{\phi}(z|x^{(i)})}{p_{\theta}(z|x^{(i)})} \right ] \tag{5} \\
& = L(x^{(i)},\theta, \phi) + D_{KL} \left [ q_{\phi}(z|x^{(i)}) || p_{\theta}(z|x^{(i)}) \right ] \tag{6}
\end{align*}
$$
其中，

$D_{KL}$表示的是KL散度（KL Divergence），它的定义如下：
$$D_{KL} \left [ p||q \right ] = E \left [ \frac{p}{q} \right ] \tag{7} $$
我们定义：
$$L(x^{(i)},\theta, \phi) = E_{z \sim q_{\phi}} \left [ \log p_{\theta}(x^{(i)} |z) \right ] – D_{KL} \left [ q_{\phi}(z|x^{(i)}) || p_{\theta}(z) \right ] \tag{8}$$

下面说下这个公式的推导，不想看可以跳过。这个推导看似很复杂，其实并没有那么复杂，主要有两点：

公式1是如何得到公式2的？
贝叶斯定理

公式5到公式6到底发生了什么？
我们可以根据公式7和公式8推导得出。

目标函数

因为$D_{KL} \geq 0$，所以根据公式6我们可以得到对数似然函数一个变分下界（variational lower bound on loglikelihood）：
$$\log p_{\theta} (x^{(i)}) \geq L(x^{(i)},\theta, \phi) \tag{9}$$于是要最大化$\log p_{\theta} (x^{(i)})$，只要最大化它的下界即可，于是我们得到VAE的目标函数：
$$
L(x^{(i)},\theta, \phi) = E_{z \sim q_{\phi}(z|x^{(i)})} \left [ \log p_{\theta}(x^{(i)} |z) \right ] – D_{KL} \left [ q_{\phi}(z|x^{(i)}) || p_{\theta}(z) \right ] \tag{10}
$$完整的结构如下：
Imgur
下面我们对这个目标函数进行做几点解释：

$q_{\phi}(z|x^{(i)})$可以被解释成一个编码器（encoder）;$p_{\theta}(x|z)$可以被解释成一个解码器（decoder）
公式10中的前半部分表示的是construction error，它表示的是输出数据分布和原始数据的逼近程度；
后半部分是个正则项，它表示的是后验概率$q_{\phi}(z|x^{(i)})$和先验概率$p_{\theta}(z)$的接近程度

与Autoencoders的区别

VAE和标准的自动编码器还是有区别的，Autoencoders是一个确定性模型（deterministic model），主要的作用的学习一个数据的隐性表达（learn a latent representation of data），因此可以用来压缩数据。
Imgur
它的目标函数是：
$$ L(x, x’) = ||x-x’||^2 $$
相比之下，VAE是一个概率模型（probabilistic model），它把深度模型和概率方法结合了起来，也因此取名Variational Autoencoder。它的主要作用是生成新的相似的数据而非学习一个低维的隐性表达。

与GAN的区别

本来想再写一篇关于GAN的文章的，但是网上关于GAN的文章实在太多了，没有写的必要。于是乎，就这里稍微提及下VAE和GAN的区别吧。我们先来回顾一下GAN的模型：
Imgur

判别器(Discriminator)
判别器实际上是一个分类器，用于判定生成器生成的图片和真实图片的接近程度，所以它的cost function是一个cross entropy:
$$J(\theta_g, \theta_d) = -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}\log D(X^{(i)}) – \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m} \log(1-D(g(z^{(i)})))$$
生成器(Generator)
生成器的cost function是：
$$\sum_{i=1}^{m}\log (1 – D(g(z^{(i)})))$$

GAN和VAE主要有以下不同：

GAN能从随机噪声开始生成出高质量的图片，也就是说$z$是随机初始化的；而VAE则是一个概率模型，中间向量$z$是在原始数据$X$的基础上引入概率模型后生成的，并不是随机产生的。
VAE可以学到原始数据一个隐形的表达（a latent representation of data），也就是向量$z$，而GAN不能
VAE的目的是最小化真实数据$p_r$和生成数据$p_g$的KL散度(KL Divergence)$KL(p_r ||p_g )$，并且使用encoder$q(z|x)$去近似(approximate)这个KL散度；而GAN的目的则是最小化真实数据$p_r$和生成数据$p_g$的Jensen-Shannon divergence$JS(p_r||p_g)$，并且使用Discriminator去近似(approximate)JS divergence。
相比于VAE，GAN能够生成更清晰的图片

reference：以上内容参考自张连文老师的课件，有兴趣的童鞋可以自行前往围观