# 从线性空间到再生核希尔伯特空间

### 线性空间（Linear Space）

$$\vec{v} = (v_1,v_2,…,v_{10}) \\ \vec{w} = (w_1,w_2,…,w_{10}) \\ \vec{v} + \vec{w} =(v_1+w_1,v_2+w_2,…,v_{10}+w_{10}) \\ c \cdot \vec{v} = (c \cdot v_1,c \cdot v_2,…,c \cdot v_{10})$$

### 希尔伯特空间（Hilbert Space）：

• 什么是赋范向量空间？

In mathematics, a normed vector space is a vector space on which a norm is defined.

• 什么是范数？

A norm is a function that assigns a strictly positive length or size to each vector in a vector space.

• 什么是度量空间？

In mathematics, a metric space is a set for which distances between all members of the set are defined. Those distances, taken together, are called a metric on the set.

• 那什么是空间的完备性？

In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M.

### 再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS）

• 对任意固定$$x_0$$属于$$X$$，$$K(x,x_0)$$作为$$x$$的函数属于$$H$$;

• 对任意$$x$$属于$$X$$和$$f(.)$$属于$$H$$，有$$f(x) = {<f(.),K(.,x)>_{H}}$$

#### 这个再生性有什么用？

$$f(x) = K(x,y) = {<K(.,y),K(.,x)>_{H}}$$

$$\phi(x) = K(\cdot,x)$$

$$K(x_1,x_2) = <K(\cdot,x_1),K(\cdot,x_2)> = <\phi(x_1),\phi(x_2)>$$

• 一个希尔伯特空间$$H$$是一个再生核希尔伯特空间，当且仅当它有一个再生核；
• 对于给定的希尔伯特空间，再生核是唯一的。

## 《从线性空间到再生核希尔伯特空间》上有1条评论

1. f

感谢作者，写的清晰明了简单易懂。我有个疑问，根据再生性：对任意x属于X和f(.)属于H，有f(x)=为什么得到的是K(x1,x2)=，难道不应该是K(x2,x1)=吗？

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